Resolução de questões de matemática para o Vestibular(03/11)

Boa noite,

Estou abrindo esse tópico para tentar ajudar quem vai prestar vestibular na área de exatas esse ano. De início, vou usar uma sequência do IME (Instituto Militar de Engenharia) e depois do ITA (Instituto Tecnológico de Aeronáutica)

A ordem cronológica é a crescente, dos mais recentes para os mais antigos, criei um pdf desses exames (usando o ghostscript), quem quiser uma cópia me mande uma mp; uma outra opção é baixar os exames a partir desse link http://www.ime.eb.br/index.php?option=com_content&task=view&id=59&Itemi d=152
Espero conseguir resolver uma questão por dia
Aviso: alguns problemas são geométricos, o que exige diagramas, se alguém tiver uma sugestão de como contornar isso, me avise por favor. Outra coisa interessante é saber se um módulo de interpretação Latex pode ser ativado no fórum

Vamos lá!

Prova 2004/2005

Questão 1: Em um triângulo ABC, x = ang(A) e y= ang(B) são ângulos complementares
Calcule o valor numérico da expressão:
(cos(x) - cos(y))^{2} + (sen(x) + sen(y))^{2}

Resposta:
Observação : a notação x^{y}, significa exponenciação

Ângulos complementares são aqueles cuja soma é 90 graus, ou seja x+y = pi/2

Vamos chamar a expressão acima de S:
S = (cos(x) - cos(y))^{2} + (sen(x) + sen(y))^{2} =
cos(x)^{2} + cos(y)^{2} -2cos(x)cos(y) + sen(x)^{2} + sen(y)^{2} +2sen(x)sen(y)


Agrupando temos:

S = ( cos(x)^{2} + sen(x)^{2}) + ( cos(y)^{2} + sen(y)^{2})
-2(cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y))

A relação fundamental da trigonometria é dada por:
cos(x)^{2} + sen(x)^{2} = 1

Então:

S = 1 + 1 -2(cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)) = 2 -2(cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y))

Mas, a fórmula da soma de arcos é dada por:

cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

Donde vem que:

S = 2 -2cos(x+y)

Como x e y são complementares temos que o cosseno é igual a zero, portanto:

S = 2 Boa tarde,

Questão 2: Determine todos os números naturais n tais que:
(i+1)^{2n} + (2i)^{n} + 16i = 0, onde i é tal que i^{2} = -1

Resposta:

Analisemos o primeiro termo da igualdade acima:

(i+1)^{2n} = ((i+1)^{2})^{n}

Desenvolvendo (i+1)^{2} temos

(i+1)^{2} = i^{2} + 1^{2} + 2i = -1 + 1 + 2i = 2i

Então:
(i+1)^{2n} = (2i)^{n}
Levando esse resultado na igualdade original:

(2i)^{n} + (2i)^{n} + 16i = 0

Agrupando:

2(2i)^{n} = -2^{4}i

Simplificando:

(2i)^{n} = (2i)^{3}

Portanto:

n = 3 Bom, quando eu estava na época de vestibular foi muito útil para mim pegar as resoluções dos colégios/cursinhos. Portanto, além da ajuda do kalicrates acho que também vale a pena dar uma espiada nesses materiais. Vou colocar alguns como exemplo, mas uma 'googleada' pode ajudar bastante.

Poliedro :arrow: http://www.sistemapoliedro.com.br/new/interna.aspx?Face=2005/imagens_pr/poliedro_resolve.htm
Objetivo :arrow:
http://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/ita.asp
Alferes :arrow:
http://www.alferes.com.br/alferes_resolve/ita/ita.htm

Importante: Confira sempre suas resoluções em pelo menos 2 fontes (se forem muito divergentes, veja uma terceira), digo isso pois as comissões de vstibulares do ITA/IME não divulgam gabarito oficial, ficando uma certa obscuridade quanto as respostas válidas, prinipalmente nas questões dissertativas.

Outra coisa procure resolver questões de Olimpíadas de Matemática, é muito importante para melhorar a capacidade de raciocínio.
Esta lista é muito boa, vale a pena participar :arrow:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/olimp.html

Espero ter ajudado um pouco, com as experiências que tive.

Até Boa noite,

Acho que com esses links você tornou a minha iniciativa obsoleta...kkkk...:lol:
Bem, conversei com um dos moderadores para ver se é possível ativar um suporte ao latex aqui, se não for possível, tudo bem.
Quanto ao material de olimpíada, well, é coisa bem sofisticada, exige dedicação; sinceramente, nunca estudei esse tipo de material...qual o motivo você poderia perguntar não é mesmo ?
É que eu tive (tenho) dificuldade para entender material técnico, sofri muito para aprender o pouco que sei; de certa forma, para mim, foi (é) bom ter dificuldade para entender, isso fez com que eu respeitasse a dificuldade das outras pessoas, e também desenvolveu em mim técnicas de apresentação, de detalhismo; etc...porque eu sei (passei/passo por isso) aonde aperta os calos.
Olimpíada ? Fica (para mim) para a próxima reencarnação...hehehe...;-)

Té+

Kali Tenho que discordar de você quanto deixar sua proposta obsoleta, pois como eu disse quanto maior a diversidade de soluções melhor as idéias podem ser desenvolvidas , seja isto na matemática, física , computação, etc . Quanto à sugestão dos exercícios de olimpíada foi apenas para depertar a curiosidade... obviamente para conseguir resolvê-los de forma eficaz realmente é necessário ser um atleta da matemática, ter dedicação integral para isto, o que não é o caso da maioria de nós que tem uma "vida normal" , ou seja, tem trabalho, faculdade e outros afazeres. Muito boa iniciativa, tópico fixado por algum tempo. Boa noite,

Peço a compreensão de todos em relação as soluções porque a notação usada é um improviso.

Questão 3: Uma placa metálica com base b e altura h sofre sucessivas
reduções da sua área, em função da realização de diversos cortes,
conforme ilustrado na figura abaixo. A cada passo, a área à direita
é removida e a placa sofre um novo corte. Determine a soma
das áreas removidas da placa original após serem realizados n
cortes.
Resposta:
Obs: por favor, baixem o exame para poder visualizar a figura em questão.

A placa é sucessivamente cortada em relação ao seu comprimento:

Primeiro corte: o pedaço retirado possui dimensões h x b/2
Segundo corte: o pedaço retirado possui agora dimensões h x b/4
Terceiro corte: dimensões h x b/8
N-ésimo corte: dimensões h x b/2^{n}

A soma das áreas retiradas é dada por:

Soma(n) = \sum_{k=1}^{n} h x b/2^{k} = h\sum{k=1}^{n} b/2^{k}

O objeto sob o sinal do soma é o termo geral de uma PG (progressão geométrica)
A fórmula da soma n-primeiros termos de uma PG é dada por ( http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression) :

S(n) = a_{1}( q^{n} - 1)/( q - 1)

Onde a_{1} é o primeiro termo da sequência e q é a razão.
No nosso caso, a_{1} = b/2 e q = 1/2; portanto S(n) toma a seguinte forma:

S(n) = (b/2) x (1/2^{n} - 1)/(1/2 - 1)

Finalmente:

Soma(n) = hb/2 x (1/2^{n} - 1)/(1/2 - 1) = hb(1 - 1/2^{n})

Calculando a função Soma(n) nos primeiros casos:

Soma(1) = hb/2
Soma(2) = 3hb/4
Soma(3) = 7hb/8 Questão 4: Sejam as matrizes A e B, calcule x sabendo que existe uma matriz inversível P tal que A=P^(-1)*B*P

Vamos lá. Só não esqueçam que todo mundo erra :lol:
O simbolo * significa multiplicado por; vezes...
O simbolo ^ signfica elevado ao número que está dentro do parênteses

Agora descobri como colocar os espaços :lol:
Queremos saber o valor de x.

Dado que existe uma matriz inversível P tal que A=P^(-1)*B*P

Se A=P^(-1)*B*P
logo, det(A)=det[P^(-1)]*det(B)*det(P)
como det[P^(-1)]=1/det(P)
teremos:
det(A)=1/det(P)*det(B)*det(P)

Lembrando que o determinante de matriz inversa M multiplicado pelo determinante da matriz M é sempre igual a 1.
Daí det[P^(-1)]*det(P)=1
Então: det(A)=1*det(B)
det(A)=det(B)

Calculando e obtendo os determinantes de cada matriz, chegamos a:
det(A)=2x+3
det(B)=x+3
2x+3=x+3 --> x=0

A solução seria S={0}

Ativem o módulo Latex no fórum, pelo amor de DEUS!!!
Qualquer coisa, posta aee! Abraços! :roll: :roll: :roll: Boa noite,

Olhe novamente os dados da questão 4 , o elemento a_{12} é igual a 1, mas ao final, o resultado (usando o determinante) é x = 0 mesmo.
Há um porém...olhe esse verbete da wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Trace_%28linear_algebra%29 ), o traço é outro invariante de matrizes semelhantes, pois

tr(P^{-1}BP) = tr(PP^{-1}B) = tr(B)

Usando as matrizes do problema, temos:

tr(A) = 3 + x
tr(B) = 2 + x

Donde

3 + x = 2 + x ===> 3 = 2...parece que temos um problema aqui... :?

Ou esse problema é inconsistente, ou eu estou errando em algum ponto...hehehe
Eu acredito que os examinadores tomaram duas matrizes "equivalentes" e ajeitando as entradas, montaram esse problema.
Legal que alguém participou, fiquem à vontade para opinar.

Té+

Kali Olá, boa noite!
Partindo para a Questão 5, que diz: Sabendo que a, b e c são constantes reais, resolva o sistema simplificando ao máximo possível a expressão obtida.
Esse é o sistema dado:
x+y+z=0
cx+ay+bz=0
ax-by-bz=a²-b²

Utilizando a Regra de Cramer resolvi o problema da seguinte forma:

A Matriz Incompleta (MI) obtida do sistema é:
|1-----1-----1|
|c-----a-----b|
|a--(-b)--(-b)|

A matriz completa (MC)seria:
|1-------1--------1---------0|
|c-------a--------b---------0|
|a-----(-b)----(-b)----(a²-b²)|

Calculando o det(MI), que também é chamado de D, teremos: D=b²-a²

A regra de Cramer afirma x=Dx/D ; y=Dy/D e z=Dz/D.
Onde Dx é o determinante da matriz MI só que tendo a coluna (a11; a21; a31) substituída pelos elementos a14; a24; a34 da matriz MC.
Onde Dy é o determinante da matriz MI só que tendo a coluna (a12; a22; a32) substituída pelos elementos a14; a24; a34 da matriz MC.
Onde Dz é o determinante da matriz MI só que tendo a coluna (a13; a23; a33) substituída pelos elementos a14; a24; a34 da matriz MC.

Vamos aos cálculos então!

|0----------1--------1|
|0----------a--------b| => calculando o determinante - que no caso é o Dx - teremos: Dx=b(a²-b²)-a(a²-b²) => Dx=(a²-b²)(b-a)
|(a²-b²)--(-b)----(-b)|

|1-------0--------1|
|c-------0--------b| => calculando o determinante - que no caso é o Dy - teremos: Dy=c(a²-b²)-b(a²-b²) ==> Dy=(a²-b²)(c-b)
|a---(a²-b²)----(-b)|

|1-------1--------0|
|c-------a--------0|=> calculando o determinante - que no caso é o Dz - teremos: Dz=a(a²-b²)-c(a²-b²) ==> Dz=(a²-b²)(a-c)
|a-----(-b)--(a²-b²)|

Let's go again!!

Se x=Dx/D => x=[(a²-b²)(b-a)]/(b²-a²)
Observe que (b²-a²) é o mesmo que (-1)*(a²-b²)
Então, x=[(a²-b²)(b-a)]/[(-1)*(a²-b²)] ==> x=(a-b)

Se y=Dy/D, y=[(a²-b²)(c-b)]/(-1)*(a²-b²) ===> y=(b-c)
Se z=Dz/D, z=[(a²-b²)(a-c)]/(-1)*(a²-b²)===> z=(c-a)

S={(a-b);(b-c);(c-a)}

Por hoje chega, quero cama :twisted:

Kalicrates, nunca tinha pensado em utilizar o Traço para resolver a Questão 4... boa sacada! Sou um novato nas matemáticas da vida ops: Minha mentalidade matemática ainda é baseada no 2º Grau, mas ainda evoluirei rumo à mentalidade matemática aprofundada.. rssss....
Vou indo nessa! Abraço! Opa gostei em, pena q são poucas pessoas interessadas nos estudos. VCs estão de parabéns por essa iniciativa.
Realmente o site www.obm.org.br é ótimo vc pode baixar em PDF ou DOC as revistas Eurekas e,questões e soluções das Olimpíadas anteriores. Boa noite,

Apenas alguns comentários ainda no caso da questão 4 : o exame do IME (Instituto Militar de Engenharia) ainda é o único que faz perguntas que envolvem conceitos de matemática universitária, minha sugestão é que quem estiver interessado em prestar o vestibular do IME, que conheça bem pelo menos o primeiro semestre de matemática de um curso superior.

Bibliografia:
Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 8 (quem puder, compre a coleção inteira, pois vale a pena) - Atual Editora
Linear Algebra - Hoffman & Kunze - Prentice Hall

Voltando à questão 4, o problema foi mal posto, deveria ter sido anulado ou o ponto associado ser distribuido entre os candidatos.
Vou explicar porque: a fórmula A = P^{-1}BP na verdade oculta o que se conhece em matemática como o relacionamento entre duas representações de um operador linear. Tanto o determinante quando o traço são quantidades intrínsecas de um operador, pois não dependem da escolha de base.
Isso significa que se calcularmos o traço de A e B, eles TEM que ser iguais, e como já vimos, não são nesse caso, chegamos a um absurdo.
Um enunciado correto poderia ser por exemplo: Dadas as matrizes A e B abaixo, determine x de forma que seus determinantes sejam iguais.

Aguardem um tempinho por favor, pois vou ver se consigo resolver a questão 6...=)

Té+

Kali Boa noite,

Questão 6 : Considere o polinômio P(x) = ax^{3} + bx + c tal que P(1) = 1,
P(2) = 4 e P(3) = 9.
Determine:
a. o valor de a, b e c;
b. o número de raízes reais desse polinômio.

Item (a):
Usando os valores do polinômio para x =1, x = 2 e x = 3 temos:
a+b+c = 1
8a+2b+c = 4
27a+3b+c = 9

Temos aqui um sistema linear em 3 variáveis, há várias técnicas para resolver, eu optei por escalonar, então:

1 1 1 | 1
8 2 1 | 4
27 3 1 | 9

1 1 1 | 1 (*) multipliquei a primeira equação por -8 adicionei na segunda!
0 -6 -7 | -4
27 3 1 | 9

1 1 1 | 1
0 -6 -7 | -4
0 -24 -26 | -18 (*) multipliquei a primeira equação por -27 e adicionei na terceira, e também multipliquei a segunda equação por -1

1 1 1 | 1
0 6 7 | 4
0 0 2 | -2

(*) Multipliquei a segunda equação por 4 e adicionei na terceira equação, finalmente temos um sistema escalonado.
Resolvendo:
c = -1
b = 11/6
a = 1/6

Portanto: P(x) = 1/6x^{3} + 11/6x - 1

Item (b)
É uma pergunta profunda (posso estar enganado é claro). Usualmente, as equações polinomiais que aparecem nas questões de vestibular possuem raízes "carta marcada", estou querendo dizer que, em geral x = 1 ou x = -1, x = i ou x = 2, etc...coisas nessa linha; e o motivo é que saindo disso, fica complicado "adivinhar" a resposta. Mas os examinadores do IME não gostaram disso...hehehe
Bem, para as equações polinomiais com grau menor ou igual a 4 existem fórmulas que fornecem as raízes , para grau maior do que 4 não (isso é uma longa história...a teoria de Galois foi o desfecho http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory )
Há alternativas que dizem quantas raízes uma equação polinomial possui num dado intervalo aberto (a,b) ( Ver a coleção dos fundamentos de matemática elementar - volume 6 - pág 121-F)
De concreto, sabemos pelo teorema fundamental da álgebra, que o polinômio em questão possui 3 raízes. Por cálculo direto, mostramos que se o polinômio admite uma raiz complexa, então o complexo conjugado também é raiz, nesse caso, são duas raízes complexas (que podem ser idênticas) e uma raiz real; ou são três raízes reais. Pode existir um detalhe que não percebi nesse polinômio que permita dizer exatamente quantas são as raízes reais. O único modo que conheço é o "braçal" (já que não é um polinômio carta marcada), me refiro à fórmula de Cardano http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Vamos lá pessoal, participem!

Té+

Kali kalicrates,

Na (b) da última questão creio que seja possivel determinar o número de raízes fazendo um gráfico. Não sei se seria a melhor alternativa, mas me parece ser a mais fácil.

A função encontrada é P(x) = 1/6x^{3} + 11/6x - 1.
Para determinar o número de raízes reais podemos usar o seguinte raciocínio:
P(x) = 0
1/6x^3 + 11/6x - 1 = 0
1/6x^3 = -11/6x + 1
(mult por 6 em ambos os lados): x^3 = -11x + 6

De posse dessa igualdade, esboça-se o gráfico da função x^3 e de -11x + 6 num intervalo pequeno (-10,10). O intervalo poderia ser menor, bastando notar que nos extremos o valor da função tem o sinal invertido, o que indica que há pelo menos uma raíz no tal intervalo.

A(s) interseção(ões) da funcão x^3 com a reta -11x + 6 indica(m) o número de raízes reais que P(x) possui.

Rabiscando numa folha é facil notar que ocorre apenas 1 interseção.

Utilizando o método de newton poderíamos chegar na tal raiz, mas isso já fugiria do escopo desta questão... Boa noite,

Obrigado pela explicação. A referência dos "Fundamentos de Matemática elementar", volume 6 - pág 121-F é justamente algo nessa linha de raciocínio.

Abraço

Kali Boa noite,

Questão 7: Sabendo que na figura abaixo r é uma reta e s é uma parábola
do segundo grau simétrica em relação a um eixo vertical, calcule a área
sombreada.

Essa é uma questão que só é possível resolver (eu acho...) usando matemática superior.
Como o enunciado diz, a curva s é uma parábola, cuja forma geral pode ser descrita como :

f(x) = a(x - x1)(x-x2), onde x1,x2 são as raízes da curva
Da imagem (baixem o exame por favor...), temos que x1=1 e x2=2, então:

f(x) = a(x-1)(x-2)

Novamente observando a figura, temos que f(0) = 2, donde:

f(0) = 2a = 2 ===> a = 1

Portanto:

f(x) = x^{2} -3x + 2

Já a curva r é uma reta que passa pelos pontos (1,0) e (0,-1),
então:

m = Dy/Dx = 1/1 = 1 ===> coeficiente angular da reta s

A forma geral de uma reta no plano é dada por:

g(x) = ax+b

Mas

g(0) = b = -1
g(1) = a + b = a - 1 = 0 ===> a=1

Portanto:

g(x) = x - 1

A área que a questão pede pode ser calculada da seguinte maneira:

Calculemos os pontos de intersecção da reta com a parábola:

f(x) = g(x) ===> x^{2} -3x + 2 = x - 1 ===> x^{2} -4x + 3 = 0

Resolvendo essa equação, temos
x1 = 1, x2 =3

Donde temos que os pontos de intersecção são dados por:

P = (1,0)
Q= (3,2)

A área em questão pode ser dividida em duas regiões

Região 1:

Área do triângulo definido pela reta t, que vai do ponto P = (1,0) até o ponto Q=(3,2). Menos a integral da função g(x) de x=2 até x=3

Então

Área do triângulo = (2 x 2)/2 = 2 (I)
Área dada pela integral = \int_{2}^{3} (x^{2} -3x + 2)dx =
(x^{3}/3 -3x^{2}/2 + 2x)_{2}^{3} = (9 - 27/2 + 6) - (8/3 - 6 + 4) =
= (15 - 27/2) - (8/3 - 2) = 17 -27/2 - 8/3 = 17 - 97/2 (II)

(I) - (II) = 2 - 17 + 97/2 = 97/2 - 15 = 67/2 (III)


Região 2:

Integral de g(x), de x = 1 até x = 2

\int_{1}^{2} (x^{2} -3x + 2)dx = (x^{3}/3 -3x^{2}/2 + 2x)_{1}^{2} =
(8/3 - 6 + 4) - (1/3 - 3/2 + 2) = 7/3 -2 + 3/2 - 2 = (14 + 6)/6 - 4 =
= 20/6 - 4 = 10/3 - 4 = -2/3 (IV)

Uma área negativa ?
Não. O valor da área é o módulo da integral.

Portanto : (III) + |(IV)| = 67/2 + 2/3 = (201 + 4)/6 = 205/6

Por favor, há um bom número de cálculos nessa questão, e como não há um interpretador Latex disponível, fica mais difícil de checar os cálculos (eu não fiz no papel). No caso de qualquer erro, nos avise por favor.

Bons estudos

Kali Olá a todos e boa tarde!
Questão8 - para você visualizar as figuras baixe a prova por favor.

A figura obtida pela junção das peças cubo+quadrado é um tronco que, como o enuciado da questão diz, tem faces paralelas.

Para se calcular o volume de um tronco podemos usar a seguinte fórmula:
V= (h/3) * (A_B + A_b + raiz²[A_B * A_b]

onde:
h= altura
A_B= área da base maior
A_b= áreda da base menor
raiz²= raiz quadrada do que está entre chaves

A altura da figura obtida é igual a aresta do cubo que, no caso, é "b".
A área da base menor é a área de uma das superfícies do cubo que é: b * b = b².
A área da base maior é a área do quadro de lado "a", que fica sendo: a * a = a².

Dessa forma o volume da figura é:
V= (b/3) * (a² + b² + raiz²[a * b]

abraço! Boa noite,

Graças ao nosso amigo Sidarth , temos um fórum apenas para tratar questões científicas; há duas salas, uma sobre vestibular e a outra sobre matemática...=)
O motivo de termos criado um outro fórum, é para que possamos ter ativados recursos específicos de edição de fórmulas.
Peço a moderação do fgdh, que, por favor, mantenha esse tópico fixo por mais um tempo para que os interessados saibam aonde as novas resoluções estarão sendo postadas.

O link do fórum é o seguinte: http://143.107.231.110/forum/index.php

Té+

Kali Boa tarde,

Criei o primeiro post da sala de matemática, para quem estiver interessado, segue o link:

http://143.107.231.110/forum/viewtopic.php?p=8#8

Té+

Kali Boa noite,

Questão 9 resolvida

http://143.107.231.110/forum/viewtopic.php?t=3

Té+

Kali